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TU Berlin

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A02: Entwicklung reduzierter Modelle für die pulsierende Verbrennung

TP-Leiter:
Prof. V. Mehrmann (

WM:  Philipp Schulze, M.Sc. ()
Tel.   (030) 314 21264

Zusammenfassung

Das Teilprojekt befasst sich mit der Modellreduktion reaktiver Strömungen. Modellreduktionsmethoden sind mathematische Verfahren die es erlauben, die Dynamik komplexer, hochdimensionaler Systeme durch einfachere, niedrigdimensionale Modelle zu approximieren. Systeme, bei denen Transportvorgänge eine wichtige Rolle spielen, sind jedoch oft mit klassischen Methoden, wie z.B. der Proper Orthogonal Decomposition (POD) oder der Dynamic Mode Decomposition, schlecht reduzierbar. Das Ziel dieses Projekts ist es, Reduktionsansätze insbesondere auf solche Systeme mit Transportphänomenen zu erweitern. Des Weiteren sollen diese neu entwickelten Methoden auf die Pulsed Detonation Combustion (PDC) und die Shockless Explosion Combustion (SEC) angewendet werden, um die Partnerprojekte bei Parameterstudien (A04) und bei der Zustandsschätzung (A05) zu unterstützen.

 

 

2. Förderperiode 2016-2020

In der zweiten Phase ist das Ziel, die in der ersten Phase entwickelte Methode shifted POD weiterzuentwickeln und sie auf die im SFB relevanten Probleme anzuwenden, also insbesondere auf die SEC und die PDC.

Zunächst ist die Identifikation dominanter Moden durch die shifted POD weiterentwickelt worden. Hierfür sind zwei neue, auf Optimierungsproblemen basierende Algorithmen vorgeschlagen worden. Der eine Algorithmus betrachtet ein Kostenfunktional, welches die größten Singulärwerte in den mitbewegten Koordinatensystemen der verschiedenen Transportrichtungen maximiert. Verschiedene Erweiterungen des hierbei betrachteten Optimierungsproblems besitzen das Potenzial, eine eindeutige Zerlegung verschiedener Transporte zu erlangen oder zusätzliche Glattheitsanforderungen an die identifizierten Moden zu stellen. Die Anwendung solcher zusätzlichen Regularisierungen wird derzeit untersucht.

Der andere Algorithmus zielt direkt darauf das Residuum, also die Differenz zwischen den Originaldaten und der Approximation, zu minimieren. Diese Methodik wurde beispielsweise auf die in Abb. 1, links, dargestellten Daten der PDC angewendet, welche aus einer Datenassimilation im Rahmen der Kooperation zwischen den Projekten A01 und A04 hervorgegangen sind. Der Vergleich der Approximation mit shifted POD und derjenigen mit POD (jeweils mit 7 Moden, siehe Abb. 1) zeigt, dass die shifted POD in der Lage ist, diese komplexen Dynamiken mit nur 7 Moden recht genau zu approximieren. Dies stellt im Vergleich zur Standardmethode POD, welche für die gleiche Genauigkeit zehnmal so viele Moden benötigt, eine erhebliche Verbesserung dar.

Abb. 1: PDC-Daten der Dichte: Vergleich zwischen Originaldaten (links), shifted-POD-Approximation mit 7 Moden (Mitte) und POD-Approximation mit 7 Moden (rechts)
Lupe

Ein weiterer Schwerpunkt der zweiten Phase ist eine energiebasierte Formulierung der ursprünglichen sowie der reduzierten Modelle in Form von port-Hamiltonischen Systemen. Dies erlaubt es, dass wichtige Systemeigenschaften wie Stabilität und Passivität auch im reduzierten Modell gewährleistet werden können. Des Weiteren führt die port-Hamiltonische Formulierung dazu, dass verschiedene Teilsysteme (z.B. Plena und Verbrennungsrohre) separat reduziert und anschließend gekoppelt werden können, wobei das Gesamtsystem erneut port-Hamiltonisch und somit stabil und passiv ist. Um dabei auch algebraische Zwangsbedingungen, wie z.B. Randbedingungen, Erhaltungssätze, Kopplungsbedingungen, etc., hinreichend genau abbilden zu können, ist im Zuge dieses Teilprojekts eine neue port-Hamiltonische Formulierung für Deskriptorsysteme, also Regelungssysteme mit algebraischen Zwangsbedingungen, entwickelt worden.

Als alternativer Ansatz für das niedrigdimensionale Modellieren von Transportphänomenen werden strukturierte Realisierungen basierend auf Input-Output-Daten untersucht. Es wurde gezeigt, dass insbesondere Delay-Systeme sich gut für die Approximation von Transportvorgängen eignen und eine natürliche Art der niedrigdimensionalen Modellierung dieser Vorgänge darstellen. Hierzu wurde untersucht, wie solche Systeme direkt von Input/Output-Daten im Frequenzbereich oder im Zeitbereich erstellt werden können.

Weiterhin sind in diesem Teilprojekt neuartige Methoden für die Modellreduktion von Systemen mit inhomogenen Anfangsbedingungen sowie für die Modellreduktion von linearen geschalteten Systemen entwickelt worden.

Zurzeit wird die Erstellung von dynamischen reduzierten Modellen basierend auf den shifted-POD-Moden untersucht und diese Methodik auf die SEC angewendet. Das Ziel ist es, dynamische niederigdimensionale Modelle für die SEC zu gewinnen, die es erlauben den SEC-Prozess auf effiziente Weise für viele verschiedene Parameterkonfigurationen zu simulieren.

1. Förderperiode 2012 - 2014

TP-Leiter:
Prof. Mehrmann ()
Prof. Sesterhenn (l)

Als erstes Problem ist die Dynamik eines chemischen Reaktors für verschiedene Anfangstemperaturen betrachtet worden. Dies stellt eine große Herausforderung für herkömmliche Methoden dar, weil die Temperatur sprunghaft nach der Zündverzugszeit, welche wiederum von der Anfangstemperatur abhängt, ansteigt. Um dennoch eine effiziente Modellreduktion zu ermöglichen, ist die Abhängigkeit der Zündzeit von der Anfangstemperatur direkt in den Ansatz für die Modellreduktion integriert worden.

Die Idee, die Information über die Position der Diskontinuität (oder des sehr hohen Gradienten) direkt im Approximationsansatz der Modellreduktion zu berücksichtigen, hat schließlich zur Entwicklung der shifted POD geführt. Diese basiert auf einer niedrigdimensionalen modalen Darstellung in mitbewegten Koordinatensystemen und ist damit eine natürliche Art, Transportvorgänge mit wenigen Moden zu beschreiben. Ein besonderes Merkmal der shifted POD ist, dass sie auch multiple Transportvorgänge mit nur wenigen Moden darstellen kann. Dies wird durch eine additive Zerlegung des Feldes erreicht, die rein datenbasiert ist. Die shifted POD ist anhand von Beispielen verschiedener Komplexität untersucht worden: von der linearen Wellengleichung über das Kreuzen zweier Stöße bis hin zum Transport eines Wirbelpärchens in zwei räumlichen Dimensionen. Dabei konnte die shifted POD auch bei nicht-hyperbolischen Beispielen mit nicht-periodischen Randbedingungen und nicht-konstanten Transportgeschwindigkeiten niedrigdimensionale Approximationen der Daten liefern. Außerdem sind die identifizierten Moden zugänglicher für eine physikalische Interpretation, da die Strukturen in den mitbewegten Koordinatensystemen für gewöhnlich klarer sind als im ursprünglichen Koordinatensystem.

Des Weiteren ist als Vorarbeit für die zweite Phase eine port-Hamiltonische Formulierung der reaktiven Navier-Stokes-Gleichungen hergeleitet worden. Diese Struktur soll in der zweiten Phase durch strukturerhaltende Diskretisierungs- und Modellreduktionsmethoden reduzierte Modelle ermöglichen, welche stabil und passiv sind. Außerdem sind für die datengetriebene Modellierung Bedingungen hergeleitet worden, die beschreiben, wann eine Realisierung äquivalent zu einer port-Hamiltonischen Formulierung ist.

Publikationen

 

Begutachtete Veröffentlichungen

Altmann, R. und P. Schulze: A port-Hamiltonian formulation of the Navier–Stokes equations for reactive flows. Systems & Control Letters, 100: 51–55, 2017.

Beattie, C., V. Mehrmann, H. Xu und H. Zwart. Linear port-Hamiltonian descriptor systems. Mathematics of Control, Signals, and Systems, 30: 17, 2018.

Beattie, C., S. Gugercin und V. Mehrmann. Model reduction for systems with inhomogeneous initial conditions. Systems & Control Letters, 99: 99–106, 2017.

Das, P. und V. Mehrmann: Numerical solution of singularly perturbed convection-diffusion-reaction problems with two small parameters. BIT Numerical Mathematics, 56(1): 51–76, 2015.

Lemke, M., A. Miedlar, J. Reiss, V. Mehrmann und J. Sesterhenn: Model reduction of reactive processes. In Active Flow and Combustion Control 2014, Springer International Publishing, S. 234–262, 2015.

Reiss, J.. Model reduction for convective problems: formulation and application. IFAC-PapersOnLine, 51(2): 186–189, 2018.

Reiss, J., P. Schulze, J. Sesterhenn und V. Mehrmann. The shifted proper orthogonal decomposition: A mode decomposition for multiple transport phenomena. SIAM Journal on Scientific Computing, 40: 125–131, 2018.

Schäpel, J.-S., S. Wolff, P. Schulze, P. Berndt, R. Klein, V. Mehrmann und R. King. State estimation for reactive Euler equation by Kalman filtering. CEAS Aeronautical Journal, 8(2): 261–270, 2017.

Schulze, P., T. C. Ionescu und J. M. A. Scherpen. Families of moment matching-based reduced order models for linear descriptor systems. In 2016 European Control Conference (ECC), S. 1964–1969, 2016.

Schulze, P., J. Reiss und V. Mehrmann. Model reduction for a pulsed detonation combuster via shifted proper orthogonal decomposition. In Active Flow and Combustion Control 2018, Springer International Publishing, S. 271–286, 2019.

Schulze, P. und B. Unger. Data-driven interpolation of dynamical systems with delay. Systems & Control Letters, 97: 125–131, 2016.

Schulze, P. und B. Unger. Model reduction for linear systems with low-rank switching. SIAM Journal on Control and Optimization, 56: 4365–4384, 2018.

Schulze, P., B. Unger, C. Beattie und S. Gugercin. Data-driven structured realization, Linear Algebra and its Applications, 537: 250–286, 2018.

 

Preprints

Beattie, C., V. Mehrmann und H. Xu. Port-Hamiltonian realizations of linear time invariant systems. Preprint 23–2015, Institut für Mathematik, TU Berlin, 2015. http://www.math.tu-berlin.de/preprints/.

Binder, A., V. Mehrmann, A. Miedlar und P. Schulze. A Matlab toolbox for the regularization of descriptor systems arising from generalized realization procedures. Preprint 24–2015, Institut für Mathematik, TU Berlin, 2016. http://www.math.tu-berlin.de/preprints/.

Fosong, P. Schulze und B. Unger. From Time-Domain Data to Low-Dimensional Structured Models. ArXiv Preprint 1902.05112, 2019. https://arxiv.org.

 

 

Zusatzinformationen / Extras

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Sprecher

Prof. Dr.-Ing. Dieter Peitsch

Geschäftsführerin

M.Sc. Christina Riehn

Sekretariat
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Sekr. ER 2-1
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Hardenbergstr. 36a
10623 Berlin
Tel: 314 23110