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TU Berlin

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A02: Entwicklung reduzierter Modelle für die pulsierende Verbrennung

TP-Leiter:
Prof. V. Mehrmann (

WM:  Felix Black, M.Sc. ()
Tel.   (030) 314 21264

Zusammenfassung

Das Teilprojekt befasst sich mit der Modellreduktion reaktiver Strömungen. Modellreduktionsmethoden sind mathematische Verfahren, die es erlauben, die Dynamik komplexer, hochdimensionaler Systeme durch einfachere, niedrigdimensionale Modelle zu approximieren. Systeme, bei denen Transportvorgänge eine wichtige Rolle spielen, sind jedoch oft mit klassischen Methoden, wie z. B. der Proper Orthogonal Decomposition (POD) oder der Dynamic Mode Decomposition, schlecht reduzierbar. Das Ziel dieses Projekts ist es, Reduktionsansätze insbesondere auf solche Systeme mit Transportphänomenen zu erweitern. Des Weiteren sollen diese neu entwickelten Methoden auf die Pulsed Detonation Combustion (PDC) und die Shockless Explosion Combustion (SEC) angewendet werden, um die Partnerprojekte bei Parameterstudien (A04) und bei der Zustandsschätzung (A05) zu unterstützen.

Ausblick auf die 3. Förderphase 2020 – 2024

Das Projektziel der dritten Phase ist die Entwicklung von passiven und stabilen port-Hamiltonischen reduzierten Modellen für die verschiedenen Subsysteme des Multirohr-Prüfstands für pulsierende Detonationsverbrennung (PDC) und stoßfreie Verbrennung (SEC). Die port-Hamiltonische Struktur erlaubt es, die Subsysteme einzeln zu reduzieren und modular miteinander zu verknüpfen, wobei das resultierende Gesamtsystem wieder ein port-Hamiltonisches System ist. Weitere Vorteile einer port-Hamiltonischen Formulierung sind Robustheit gegenüber Störungen aufgrund einer physikalisch sinnvollen Formulierung, Invarianz der reduzierten Modelle unter Verkopplung und Invarianz unter Galerkin-Projektion bei Orts- und Zeitdiskretisierung.

In den bisherigen Formulierungen der Verbrennungsgleichungen ist die port-Hamiltonische Struktur nur teilweise berücksichtigt worden. Während die port-Hamiltonische Struktur für reine Strömungsgleichungen bzw. reaktive Strömungen bereits theoretisch gut verstanden ist, ist die Umsetzung dieser Modellierung für die PDC und SEC unter Einbeziehung der Geometrie des Prüfstands und der reduzierten Modelle noch nicht realisiert.

Die shifted POD soll hinsichtlich port-Hamiltonischer Strukturerhaltung erweitert werden. Zusätzlich sollen port-Hamiltonische Struktur erhaltende, datengetriebene Modellreduktionsmethoden, basierend auf numerischen und experimentellen Input- und Outputdaten der Brennkammer, entwickelt werden.

Weitere Forschungsziele sind die Untersuchung von shifted POD auf Operatorebene hinsichtlich Konvergenz und die Weiterentwicklung der shifted POD hinsichtlich der Bestimmung der Transportgeschwindigkeiten und -richtungen mittels datenbasierter Machine-Learning-Techniken, sowie die Erweiterung der Modellreduktionsmethode Dynamic Mode Decomposition für port-Hamiltonische Systeme auf Operatorebene.

2. Förderphase 2016 - 2020

In der zweiten Phase ist die Identifikation dominanter Moden durch die shifted POD weiterentwickelt worden. Hierfür sind zwei neue, auf Optimierungsproblemen basierende Algorithmen vorgeschlagen worden. Der eine Algorithmus betrachtet ein Kostenfunktional, welches die größten Singulärwerte in den mitbewegten Koordinatensystemen der verschiedenen Transportrichtungen maximiert. Verschiedene Erweiterungen des hierbei betrachteten Optimierungsproblems besitzen das Potenzial, eine eindeutige Zerlegung verschiedener Transporte zu erlangen oder zusätzliche Glattheitsanforderungen an die identifizierten Moden zu stellen

Der andere Algorithmus zielt direkt darauf ab, das Residuum, also die Differenz zwischen den Originaldaten und der Approximation, zu minimieren. Diese Methodik wurde beispielsweise auf die in Abbildung 1 links dargestellten Daten der PDC angewendet, welche aus einer Datenassimilation im Rahmen der Kooperation zwischen den Projekten A01 und A04 hervorgegangen sind. Der Vergleich der Approximation mit shifted POD und derjenigen mit POD (jeweils mit 7 Moden, siehe Abb. 1) zeigt, dass die shifted POD in der Lage ist, diese komplexen Dynamiken mit nur 7 Moden gut zu approximieren. Dies stellt im Vergleich zur Standardmethode POD, welche für die gleiche Genauigkeit zehnmal so viele Moden benötigt, eine erhebliche Verbesserung dar.

Abb. 1: PDC-Daten der Dichte: Vergleich zwischen Originaldaten (links), shifted-POD-Approximation mit 7 Moden (Mitte) und POD-Approximation mit 7 Moden (rechts)
Lupe

Als alternativer Ansatz für das niedrigdimensionale Modellieren von Transportphänomenen sind strukturierte Realisierungen basierend auf Input-Output-Daten untersucht worden. Es wurde eine neue Realisierungsmethode entwickelt, mit welcher man direkt aus Frequenzdaten der Transferfunktion niedrigdimensionale Ersatzmodelle erzeugen kann, deren Transferfunktion eine spezielle Struktur hat. Dies umfasst unter anderem lineare Delay-Systeme und Systeme mit höherer oder fraktioneller Ordnung. Weiterhin wurde gezeigt, dass insbesondere Delay-Systeme sich gut für die Approximation von Transportvorgängen eignen und eine natürliche Art der niedrigdimensionalen Modellierung dieser Vorgänge darstellen. Ein offenes Problem ist hierbei noch die Entwicklung von Realisierungsmethoden, die niedrigdimensionale Ersatzmodelle mit port-Hamiltonischer Struktur erzeugen.

Für Systeme mit algebraischen Zwangsbedingungen (Deskriptorsysteme), wie z. B. Randbedingungen, Erhaltungssätzen, Kopplungsbedingungen, etc., ist im Zuge dieses Teilprojekts eine neue port-Hamiltonische Formulierung entwickelt worden.

Weiterhin sind in diesem Teilprojekt neuartige Methoden für die Modellreduktion von Systemen mit inhomogenen Anfangsbedingungen sowie für die Modellreduktion von linearen geschalteten Systemen entwickelt worden.

Auf Basis der durch shifted POD identifizierten Moden ist eine neue Projektionsmethode zur Erstellung von niedrigdimensionalen reduzierten Modellen entwickelt worden. Die Effizienz der Methode wurde an verschiedenen Modellklassen nachgewiesen, unter anderem für Advektions-Diffusions-Gleichung (mit periodischen sowie Einlass- und Auslass-Randbedingungen) und viskose Burgersgleichung mit periodischen Randbedingungen.

In der restlichen Laufzeit der zweiten Phase des SFB 1029 werden unter anderem reduzierte Modelle der SEC für Zustandsschätzungen in A05 und der PDC für Parameterstudien in A04 entwickelt.

1. Förderperiode 2012 - 2014

TP-Leiter:
Prof. Mehrmann ()
Prof. Sesterhenn (l)

Als erstes Problem ist die Dynamik eines chemischen Reaktors für verschiedene Anfangstemperaturen betrachtet worden. Dies stellt eine große Herausforderung für herkömmliche Methoden dar, weil die Temperatur sprunghaft nach der Zündverzugszeit, welche wiederum von der Anfangstemperatur abhängt, ansteigt. Um dennoch eine effiziente Modellreduktion zu ermöglichen, ist die Abhängigkeit der Zündzeit von der Anfangstemperatur direkt in den Ansatz für die Modellreduktion integriert worden.

Die Idee, die Information über die Position der Diskontinuität (oder des sehr hohen Gradienten) direkt im Approximationsansatz der Modellreduktion zu berücksichtigen, hat schließlich zur Entwicklung der shifted POD geführt. Diese basiert auf einer niedrigdimensionalen modalen Darstellung in mitbewegten Koordinatensystemen und ist damit eine natürliche Art, Transportvorgänge mit wenigen Moden zu beschreiben. Ein besonderes Merkmal der shifted POD ist, dass sie auch multiple Transportvorgänge mit nur wenigen Moden darstellen kann. Dies wird durch eine additive Zerlegung des Feldes erreicht, die rein datenbasiert ist. Die shifted POD ist anhand von Beispielen verschiedener Komplexität untersucht worden: von der linearen Wellengleichung über das Kreuzen zweier Stöße bis hin zum Transport eines Wirbelpärchens in zwei räumlichen Dimensionen. Dabei konnte die shifted POD auch bei nicht-hyperbolischen Beispielen mit nicht-periodischen Randbedingungen und nicht-konstanten Transportgeschwindigkeiten niedrigdimensionale Approximationen der Daten liefern. Außerdem sind die identifizierten Moden zugänglicher für eine physikalische Interpretation, da die Strukturen in den mitbewegten Koordinatensystemen für gewöhnlich klarer sind als im ursprünglichen Koordinatensystem.

Des Weiteren ist als Vorarbeit für die zweite Phase eine port-Hamiltonische Formulierung der reaktiven Navier-Stokes-Gleichungen hergeleitet worden. Diese Struktur soll in der zweiten Phase durch strukturerhaltende Diskretisierungs- und Modellreduktionsmethoden reduzierte Modelle ermöglichen, welche stabil und passiv sind. Außerdem sind für die datengetriebene Modellierung Bedingungen hergeleitet worden, die beschreiben, wann eine Realisierung äquivalent zu einer port-Hamiltonischen Formulierung ist.

Publikationen

 

Begutachtete Veröffentlichungen

Altmann, R. und P. Schulze: A port-Hamiltonian formulation of the Navier–Stokes equations for reactive flows. Systems & Control Letters, 100: 51–55, 2017.

Beattie, C., V. Mehrmann, H. Xu und H. Zwart. Linear port-Hamiltonian descriptor systems. Mathematics of Control, Signals, and Systems, 30: 17, 2018.

Beattie, C., S. Gugercin und V. Mehrmann. Model reduction for systems with inhomogeneous initial conditions. Systems & Control Letters, 99: 99–106, 2017.

Das, P. und V. Mehrmann: Numerical solution of singularly perturbed convection-diffusion-reaction problems with two small parameters. BIT Numerical Mathematics, 56(1): 51–76, 2015.

Lemke, M., A. Miedlar, J. Reiss, V. Mehrmann und J. Sesterhenn: Model reduction of reactive processes. In Active Flow and Combustion Control 2014, Springer International Publishing, S. 234–262, 2015.

Reiss, J.. Model reduction for convective problems: formulation and application. IFAC-PapersOnLine, 51(2): 186–189, 2018.

Reiss, J., P. Schulze, J. Sesterhenn und V. Mehrmann. The shifted proper orthogonal decomposition: A mode decomposition for multiple transport phenomena. SIAM Journal on Scientific Computing, 40: 125–131, 2018.

Schäpel, J.-S., S. Wolff, P. Schulze, P. Berndt, R. Klein, V. Mehrmann und R. King. State estimation for reactive Euler equation by Kalman filtering. CEAS Aeronautical Journal, 8(2): 261–270, 2017.

Schulze, P., T. C. Ionescu und J. M. A. Scherpen. Families of moment matching-based reduced order models for linear descriptor systems. In 2016 European Control Conference (ECC), S. 1964–1969, 2016.

Schulze, P., J. Reiss und V. Mehrmann. Model reduction for a pulsed detonation combuster via shifted proper orthogonal decomposition. In Active Flow and Combustion Control 2018, Springer International Publishing, S. 271–286, 2019.

Schulze, P. und B. Unger. Data-driven interpolation of dynamical systems with delay. Systems & Control Letters, 97: 125–131, 2016.

Schulze, P. und B. Unger. Model reduction for linear systems with low-rank switching. SIAM Journal on Control and Optimization, 56: 4365–4384, 2018.

Schulze, P., B. Unger, C. Beattie und S. Gugercin. Data-driven structured realization, Linear Algebra and its Applications, 537: 250–286, 2018.

 

Preprints

Beattie, C., V. Mehrmann und H. Xu. Port-Hamiltonian realizations of linear time invariant systems. Preprint 23–2015, Institut für Mathematik, TU Berlin, 2015. http://www.math.tu-berlin.de/preprints/.

Binder, A., V. Mehrmann, A. Miedlar und P. Schulze. A Matlab toolbox for the regularization of descriptor systems arising from generalized realization procedures. Preprint 24–2015, Institut für Mathematik, TU Berlin, 2016. http://www.math.tu-berlin.de/preprints/.

Fosong, P. Schulze und B. Unger. From Time-Domain Data to Low-Dimensional Structured Models. ArXiv Preprint 1902.05112, 2019. https://arxiv.org.

Black, F., Schulze, P. und Unger, B.: Nonlinear Galerkin Model Reduction for Systems with Multiple Transport Velocities. Preprint 11-2019, Institut für Mathematik, TU Berlin, 2019. http://www.math.tu-berlin.de/preprints/.

 

 

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Sprecher

Prof. Dr.-Ing. Dieter Peitsch

Sekretariat

Steffi Stehr
Sekr. F 2
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10587 Berlin
Tel: 314 23110